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自主录题
一
试题内容
试题内容
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m<sup>2</sup>，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：<br /> 方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．<br /> 方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m,拱高P'E'=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′=E′N′．<br /> 要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S<sub>1</sub>，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S<sub>2</sub>，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，<span class="MathJye" dealflag="1" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal"><span><span><font class="MathJye_mi"><font class="MathJye_mi">S</font></font></span><span dealflag="1" style="vertical-align:sub;font-size:90%">2</span></span>＝12</span><span><img latex="\sqrt{2}" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABQAAAAQCAYAAAAWGF8bAAAAAXNSR0IArs4c6QAAATxJREFUOE+tktFxgzAQRHVAE/nDHTBIBcSVxFQCLiA12KnEzj8wdBDSh6TLLCN5hEKImUE/gNC9W+0eiY2rKIp8rYS28ADLsuxdCPHyV90moJTy0nVdtZvCXYGAGWPOwzCMuyiM1SmlXpn5TQiRE9FZaz2i2VMeKqUarfXVq0M4aZrW8NOBL0T00bZt8xRwQV3DzLUx5oAm+C+EOOH7AUQneNO27T30qCzLU5IkY7jvr+sTxxkigsrjBHQbNd67rjuEQFwXV1kLAmfgJ2onoBvYnJlv6OLVLKmLwc7PL18381BKeXMqj3j+N3cOBhGVFzEDBolV1to89i5Wh4Yu3TtqMTozoOuIxEYi+l7zDjBm/rTW3rMsg13wsPo1Nj4xZq76vr8uheFCmEIM1vgIJdz1vsRpR8lPIxYv+PgDUmjMX+GyH0gAAAAASUVORK5CYII=" style="vertical-align: middle;" /></span><span class="MathJye" dealflag="1" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal"><span><span><font class="MathJye_mi"><font class="MathJye_mi">m</font></font></span><span dealflag="1" style="vertical-align: 9px; font-size: 90%;">2</span></span></span>，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：<br /> （1）求方案一中抛物线的函数表达式；<br /> （2）在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S<sub>1</sub>并比较S<sub>1</sub>，S<sub>2</sub>的大小．<br /> <img alt="德优题库" src="/math/image/2024-02-19/93cc2ead01bd3f5edde43ebd0fd19170.png" style="vertical-align:middle" />
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C
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选择答案
A
B
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试题答案
（1）方案一中抛物线的函数表达式为y=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x<sup>2</sup>+<span><img latex="\frac{4}{3}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x；<br /> （2）S<sub>1</sub>=18m<sup>2</sup>；S<sub>1</sub>＞S<sub>2</sub>．
自主录题
一
试题解答
试题解答
解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），<br /> 设抛物线的函数表达式为y=a（x-6）<sup>2</sup>+4，<br /> 把O（0，0）代入得：0=a（0-6）<sup>2</sup>+4，<br /> 解得：a=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>，<br /> ∴y=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>（x-6）<sup>2</sup>+4=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x<sup>2</sup>+<span><img latex="\frac{4}{3}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x；<br /> ∴方案一中抛物线的函数表达式为y=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span><br /> x<sup>2</sup>+<span><img latex="\frac{4}{3}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x；<br /> （2）在y=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x<sup>2</sup>+<span><img latex="\frac{4}{3}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x中，令y=3得：3=-<span><img latex="\frac{1}{9}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x<sup>2</sup>+<span><img latex="\frac{4}{3}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>x；<br /> 解得x=3或x=9，<br /> ∴BC=9-3=6（m），<br /> ∴S<sub>1</sub>=AB•BC=3×6=18（m<sup>2</sup>）；<br /> ∵18＞12<span><img latex="\sqrt{12}" src="data:image/png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /></span>，<br /> ∴S<sub>1</sub>＞S<sub>2</sub>．
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本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
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