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<span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">问题提出</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（1）如图1，在▱<i>ABCD</i>中，∠<i>A</i>＝45°，<i>AB</i>＝8，<i>AD</i>＝6，<i>E</i>是<i>AD</i>的中点，点<i>F</i>在<i>DC</i>上，且<i>DF</i>＝5，求四边形<i>ABFE</i>的面积．（结果保留根号）</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">问题解决</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园<i>ABCDE</i>．按设计要求，要在五边形河畔公园<i>ABCDE</i>内挖一个四边形人工湖<i>OPMN</i>，使点<i>O</i>、<i>P</i>、<i>M</i>、<i>N</i>分别在边<i>BC</i>、<i>CD</i>、<i>AE</i>、<i>AB</i>上，且满足<i>BO</i>＝2<i>AN</i>＝2<i>CP</i>，<i>AM</i>＝<i>OC</i>．已知五边形<i>ABCDE</i>中，∠<i>A</i>＝∠<i>B</i>＝∠<i>C</i>＝90°，<i>AB</i>＝800<i>m</i>，<i>BC</i>＝1200<i>m</i>，<i>CD</i>＝600<i>m</i>，<i>AE</i>＝900<i>m</i>．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖<i>OPMN</i>？若存在，求四边形<i>OPMN</i>面积的最小值及这时点<i>N</i>到点<i>A</i>的距离；若不存在，请说明理由．</span></span></span></span></span><br /> <img height="151" src="/uploads/meth/20210624/9be213d5a25bd3142097a9bd7a233b64.png" width="503" />
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<span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">解：（1）在</span><span style="font-family:"MS Mincho"">▱</span><span lang="EN-US" style="font-family:宋体">ABCD</span><span style="font-family:宋体">中，设AB边上的高为h.</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">∵AD＝6，</span></span></span></span><span style="font-family:宋体">∠A=45°<br /> ∴h=ADsin45°=3<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>………………………………………</span><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">（1分）</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">∵EA＝ED，<br /> ∴点E到DC的距离为<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>h</mi><mn>2</mn></mfrac></math></span></span></span></span></span><br /> <img height="41" src="/uploads/meth/20210624/12eaa012cfb517df5350db61f81cc155.jpeg" width="257" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体"> </span></span></span></span></span><br /> <img height="41" src="/uploads/meth/20210624/565219659b6f25fe90f2e9f799b54612.jpeg" width="221" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体"> </span></span></span></span></span><br /> <img height="83" src="/uploads/meth/20210624/676e9911d25df28990befa72188e5b86.jpeg" width="553" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">（3分）</span></span></span></span></span><br /> <img height="120" src="/uploads/meth/20210624/4961930a5b1b17617ac880b49d52dfcc.png" width="172" /><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">（2）存在.如图，分别延长AE与CD，交于点F，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">则四边形ABCF是矩形.</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">设AN＝x，则PC＝x，BO＝2x，BN＝800﹣x，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体">AM</span><span style="font-family:宋体">＝OC＝1200﹣2x.</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">由题意.易知MF＝BO，PF＝BN.…………………………………（5分）</span></span></span></span></span><br /> <img height="31" src="/uploads/meth/20210624/f42826a0f374c6eb8602a01348e5bde1.jpeg" width="289" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体"> </span></span></span></span></span><br /> <img height="41" src="/uploads/meth/20210624/b3e00032e3c34b85dd5de2d293bbe6ae.jpeg" width="311" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">）</span></span></span></span></span><br /> <img height="41" src="/uploads/meth/20210624/dab2ebccd4a48334222bfe95ae00b3d4.jpeg" width="239" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体"> </span></span></span></span></span><br /> <img height="31" src="/uploads/meth/20210624/8317edb10d21bbd60a8c591c7c4977f7.jpeg" width="172" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体"> </span></span></span></span></span><br /> <img height="62" src="/uploads/meth/20210624/3c305093c8434a89747acae3349556c2.jpeg" width="553" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">（8分）</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">∴当x＝350时，S四边形OPMN＝470000.</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span lang="EN-US" style="font-family:宋体">AM</span><span style="font-family:宋体">＝1200﹣2x＝500＜900，CP＝350＜600.</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000</span></span></span></span></span><span lang="EN-US" style="font-size:10.5pt"><span style="font-family:宋体">m<sup>2</sup></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="vertical-align:middle"><span style="font-family:"Times New Roman""><span style="font-family:宋体">这时，点N到点A的距离为350m.…………………………………（10分）</span></span></span></span></span>
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本题考查了"配方法的应用,勾股定理,平行四边形的性质,矩形的性质,平行四边形的面积,四边形的面积最小值问题,特殊角的三角函数值"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。
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