自主录题

自主录题一试题内容

试题内容

问题提出： 
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 
问题探究： 
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 
问题解决： 
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 
<img height="108" src="/uploads/meth/20210301/e03254be8cefc86bb13e9e8caf94f69e.png" width="480" />

题型种类

选择题 非选择题

选项效果

一行4选项 一行2选项 一行1选项

选项内容

A B C D E F G H

选择答案

自主录题一试题解答

试题解答

解：（1）如图记为点D所在的位置． 
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（2）如图， 
<img height="112" src="/uploads/meth/20210301/8bb1e383628f3600d2cb287f28d54c98.png" width="150" /> 
∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB． 
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点， 
连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外； 
∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大， 
作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3， 
∴AP1＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， 
由对称性得AP2＝8． 
 
（3）可以，如图所示，连接BD， 
<img height="150" src="/uploads/meth/20210301/11928303d70f1560b6c703b9ccce79e0.png" width="174" /> 
∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°， 
∴BD＝100，∠BED＝60° 
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧<img height="20" src="/uploads/meth/20210301/79217c3b69c75a6561c1d4724e7fdd73.png" width="18" />上，取<img height="20" src="/uploads/meth/20210301/6ad520d5929139c4530adfd88481fa85.png" width="26" />的中点E′，连接E′B，E′D， 
则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形． 
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′， 
∵E′A⊥BD， 
∴四边形E′BC′D为菱形，且∠C′BE′＝120°， 
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA＝E′O+OA＝E′A， 
∴S△BDE＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210301/e8e13c26b6134fcb574523031743f708.png" width="13" />•BD•EF≤<img height="35" src="/uploads/meth/20210301/22e5c4e33f1a793368fd46edad0ec009.png" width="13" />•BD•E′A＝S△E′BD， 
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002•sin60°＝5000<img height="18" src="/uploads/meth/20210301/e45bce3f17416e13ede8cc7dc2449f48.png" width="20" />（m2） 
所以符合要求的▱BCDE的最大面积为5000<img height="18" src="/uploads/meth/20210301/50fa3c3e6e6e4b5eb885422abed40475.png" width="20" />m2．

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